البوابات المنطقية - الجبر البوليني

تقليص
X
 
  • تصفية - فلترة
  • الوقت
  • عرض
إلغاء تحديد الكل
مشاركات جديدة

  • البوابات المنطقية - الجبر البوليني

    البوابات المنطقية - الجبر البوليني


    مقدمة: يعتبر الجبر البوولي أحد المرتكزات الأساسية المستخدمة في تصميم وتركيب الحاسوب.
    ويعود الفضل في وضع الأسس النظرية للجبر البوولي، والذي يسمى أيضًا بالجبر المنطقي، إلى العالم الرياضي الإنجليزي المشهور جورج بوول. وقد نشر هذا العالم نظرياته في منتصف القرن التاسع عشر لتصبح فيما بعد الأساس في تصميم الدوائر المنطقية التي يتكون منها الحاسوب.

    يسمى المتغير بوولياً (أو منطقياً) إذا اتخذ دائماً إحدى الحالتين التاليتين:
    1.الحالة الصحيحة
    (
    True)
    2.الحالة الخاطئة(
    False)
    ويمكن الرمز للمتغير البوولي بأحد الأحرفZ... ،B،A . عند دراستنا لأنظمة العد، لاحظنا أن الرقم الثنائي هو إما0 أو 1. بهذا فإنه يمكن استخدام أرقام نظام العد الثنائي لتمثيل حالات المتغير البوولي، حيث يمثل الرقم 1الحالة الصحيحة والرقم 0الحالة الخاطئة.
    4-2 العمليات البوولية (المنطقية) Logic Operations :
    تقسم العمليات البوولية إلى:
    • العمليات البوولية الأساسية.
    • العمليات البوولية المشتقة.

    4-2-1 العمليات البوولية الأساسية:
    1. عملية "و" (AND Operation).
    2. عملية "أو" (
    OR Operation).
    3. عملية "لا" (
    NOT Operation).
    تسمى العمليتان الأولى والثانية عمليتان ثنائيتان (Binary Operations)لأن كلاً منها تحتاج إلى متغيرين على الأقل، بينما تسمى عملية NOT "لا" عملية أحادية (Unary) لأن لها متغيرًا واحداً أو مدخلاً واحداً فقط، ويمكن استخدام الإشارات الجبرية التالية لتمثيل العمليات الأساسية. مع الافتراض أن المتغيرات هي Y،X.


    هذا ويمكن وصف العمليتين "و"، "أو" بأكثر من متغيرين ولكننا في معظم الحالات سنتكلم عنهما مستخدمين فقط متغيرين للتسهيل ليس إلا. وبالتعبير عن هذه العمليات بالنظام الثنائي "باعتبار أن الرقم "1" يمثل الحالة الصحيحة والرقم "
    0" يمثل الحالة الخاطئة فيمكن تعريف هذه العمليات كما يلي:

    كما هو واضح من التعريف فإن :


    لوصف العمليات المنطقية تستخدم عادة جداول تسمى جداول الحقيقة Truth tables حيث تحتوي على كل الحالات التي تقع فيها المتغيرات وعلى ناتج العملية لكل حالة. من السهل ملاحظة أنه إذا كان عدد المتغيرات يساويn فإن عدد الحالات الممكنة هي .
    وجدول الحقيقة العلمية "و" ذات المتغيرين مبين في الجدول 4-1
    أي أن عملية "و" AND تكون في الحالة الصحيحة فقط إذا كانت جميع المتغيرات في الحالة الصحيحة.

    أما جدول الحقيقة لعملية "أو" ذات المتغيرين فإنه مبين في الجدول 4-2
    أي أن عملية "أو" OR تكون في الحالة الصحيحة إذا كان أي من متغيراتها في الحالة الصحيحة وتكون في الحالة الخاطئة إذا كانت كل متغيراتها في الحالة الخاطئة.
    وجدول الحقيقة لعملية "لا" NOT مبين في الجدول 4-3
    4-2-2 العمليات البوولية المشتقة:
    وقد سميت هكذا لأنها اشتقت من العمليات البوولية الأساسية، والعمليات المشتقة هي:
    1. عملية (
    NAND Operation ) وقد أخذت التسمية من ( NOT AND).
    2. عملية (
    NOR Operation) وقد أخذت التسمية من (NOT OR).
    3. عملية
    (XOR Operation) وقد أخذت التسمية من (Exclusive OR)
    4. عملية (
    EQV Operation) وقد أخذت التسمية من (Exclusive NOR or Equivalence).

    جدول الحقيقة 4-4 يوضح هذه العمليات.

    4-3 قوانين الجبر البوولي:
    اشتقت من العمليات الأساسية الثلاث مجموعة قوانين هامة جدًا في عمل الدوائر المنطقية،وفيما يلي ملخص لهذه القوانين:

    •قانون رقم (1):

    إذا كانت
    X 0
    فإن X= 1
    إذا كانت X 1 فإن X= 0 ويسمى هذا بقانون الانفراد(Uniqueness) للمتغير البوولي.
    •قانون رقم (2):
    X+0 =X
    X.0 =0
    ويسمى هذا بقانون عمليات "الصفر".
    وفيما يلي إثبات لهذا القانون بشقيه :
    بما أن
    X متغير ثنائي فإن له حالتين إما الصفر أو الواحد
    ففي حالة كون X= 0 فأن:
    0 = 0 OR 0
    0 = 0 AND 0
    وفي حالة X=1 فأن:
    1= 0 OR 1
    1 = 1 AND 1
    ويبين الجدول 4-5 أثبات قانون (2):
    •قانون رقم (3):
    X + 1 = 1
    X . 1 = X
    ويسمى هذا بقانون عمليات "الواحد".
    •قانون رقم (4):
    =1
    =0
    ويسمى هذا بقانون عمليات التكملة (Complementation )
    جدول الحقيقة 4-6 يوضح إثبات هذا القانون.

    قانون رقم (5):
    ويسمى هذا بقانون النفي المزدوج(Double Negation)
    قانون رقم (6):
    X + X = X
    X . X = X


    ويسمى هذا بقانون التماثل(Idempotent law).
    قانون رقم (7):
    X + XY = X
    X (X + Y) = X
    ويسمى هذا بقانون الاختزال (Absorption law).
    جدول الحقيقة 4-7 يوضح إثبات هذا القانون بشقيه.


    •قانون رقم (8):
    X + Y = Y + X
    X . Y = Y . X
    ويسمى هذا بقانون التبديل (Commutative law).
    قانون رقم (9):
    X + Y + Z = X + (Y + Z) = (X +Y) + Z
    X . Y . Z = X . (Y . Z) = (X . Y) .Z

    ويسمى هذا بقانون الاقتران (Associative law).

    قانون الرقم (10):

    X (Y + Z) = XY + XZ
    (X + Y) (X + Z) = X + YZ
    ويسمى هذا بقانون التوزيع (Distributive law).
    قانون رقم (11):
    XZ + Z + XY = XY + Z
    (X + Z).( + Z).(X + Y) = (Y + X)( + Z)
    قانون رقم (12):
    X + Y = X + Y
    X . ( + Y) = XY

    جدول الحقيقة 4-8 يوضح إثبات هذا القانون.
    قانونا دي مورجان(13)(De Morgan Laws)
    أي أن مكمل المجموع (لمتغيرات منطقية ) يساوي حاصل ضرب مكملات المتغيرات.
    أي أن مكمل حاصل الضرب يساوي مجموع مكملات المتغيرات. (المقصود المجموع المنطقي وحاصل الضرب المنطقي).
    أما دي مورجان فهو عالم رياضيات ومنطق ساهم بالإضافة إلى بوول في وضع القوانين المنطقية وخاصة القانونين المذكورين.

    جدول الحقيقة 4-9 يثبت قانون دي مورجان الأول لثلاث متغيرات
    أما جدول الحقيقة 4-10 فيثبت قانون دي مورجان الثاني لثلاث متغيرات

    هذه القوانين تستخدم لتبسيط التعابير البوولية للحصول على أبسط صيغة ممكنة حتى يتم بناؤها كدوائر الكترونية بأقل تكلفة.

    مثال بسط الدالة البوولية التالية:
    الحل:

    مثال اختصر الدالة البولية التالية لأبسط صيغة ممكنة:
    الحل:


    4-4 البوابات المنطقية Logic Gates:
    استخدمت القوانين المنطقية السابقة لبناء الدوائر الإلكترونية الرقمية، والتي تتكون أساسًا من مجموعة من البوابات المنطقية، هذه البوابات هي التطبيق الهندسي للعمليات المنطقية الآنفة الذكر. وهناك ثلاث بوابات رئيسية مبينة على العمليات الثلاث الأساسية ونسميها بنفس الاسم:بوابة "و"، بوابة "أو", بوابة"لا"، وهناك عدة أنظمة لتمثيل هذه البوابات، ومن أشهرها النظام الأمريكي ANSI واسع الانتشار عالميًا وكذلك النظام الأوروبي(IEC) ويبين الشكل 4-1 رموز البوابات المنطقية الأساسية المستعملة في النظامين المذكورين.

    الشكل 4-1 طرق تمثيل البوابات المنطقية الرئيسية
    4-5 البوابات المنطقية المشتقة :
    وقد اشتقت هذه البوابات من البوابات المنطقية الرئيسية وهي:
    بوابة NAND Gate : هي بوابة AND "و" وتليها بوابة NOT "لا" كما هي موضحة في الشكل 4-2:

    الشكل 4-2 الرمز المنطقي لبوابة
    NAND
    ومن الواضح أن بوابة NAND تعمل عكس عمل بوابة AND.
    • بوابة NOR:وهي عبارة عن بوابة OR "أو" تليها بوابة NOT "لا" كما هي موضحة في الشكل 4-3 :

    الشكل 4-3 الرمز المنطقي لبوابة
    NOR
    وعملها عكس عمل البوابة OR .
    •بوابة XOR:وهي بوابة تعطي ناتجاً في الحالة الصحيحة إذا كان مدخلاها مختلفين، وتعطي ناتجا في الحالة الخاطئة إذا كان المدخلان متشابهين، والرمز الرياضي لها هو دائرة صغيرة بداخلها علامة الزائد، وفي ما يلي الرمز المنطقي لها.

    الشكل 4-4 الرمز المنطقي لبوابة XOR
    • بوابة Exclusive-NOR or Equivalence : وهي تعمل عكس عمل بوابة XOR، وهي عبارة عن بوابة XOR تليها بوابة NOT كما هي موضحة في الشكل 4-5 :

    الشكل 4-5 الرمز المنطقي لبوابة EQV
    لاحظ أن هذه البوابة تعطي الجواب (1) إذا كان مدخلاها متشابهين وتعطي الجواب (0) إذا كان المدخلان مختلفين.







  • #2
    شكرا كتير رانيا
    بجد موضوع قيم و مفيد وانا عم باخدو حاليا في الديجيتال
    :
    بحب اضيف للمعلومات السابقة
    انو البوابتين NAND ... NOR
    منقدر نبني اي components تانية منهم
    يعني باختصار اي نظام ممكن نشبكو فقط باستخدام واحدة منهما
    ( مثال : استطيع ان ابني AND , OR, NOT ، باستخدام NAND اوNOR فقط )
    و هاي ميزة مهمة الهم
    :
    :
    يعطيكي العافية
    معلومات قيمة

    تعليق


    • #3
      يسلمو عالاضافة القيمة
      ومشكورة عالمرور

      تعليق


      • #4
        rania شكرا على المجهود الرائع والمعلومات القيمة

        تعليق


        • #5
          شكرا حنفي عالمرور

          تعليق


          • #6
            شكرا كتير على الموضوع رانيا

            وعلى فكرة موضوع رائع جدااا وقيم جدا جدا

            وفي شي تاني كمان لفتني برد "قمر فلسطين"وانا كمان سمعت انو مهندسين الكهربا والحاسوب والميكانيك بوخدوها في مادة الديجيتال بس بالنسبة النا في قسم الهندسة الصناعية انا مرت معي هاي الامود في مساق اسمو CIM "computer integrated programing" وفي مساق الRealbility

            تعليق


            • #7
              HaMooooDi
              مساق الديجيتال اللي عنا كلو بوابات منطقية
              و كيفية ال design ل circiuts باستخدام ال logic gates
              بس ما بعرف انتو كيف اخدتوهم في المساقات اللي زكرتهم
              :)

              تعليق


              • #8
                انا بتهيالي حسب ذاكرتي اني اخدتهم بمادة البرمجة من شي 3 سنين تقريبا
                طبعا ماخدناهمش بالتعقيد اللي بياخدوها فيها مهندسين الكهربا والحاسوب

                يسلمو
                محمد عمرورك
                ويسلمو
                قمر فلسطين على المتابعة

                تعليق

                المواضيع ذات الصلة

                تقليص

                المواضيع إحصائيات آخر مشاركة
                أنشئ بواسطة HaMooooDi, 03-23-2024, 06:46 PM
                ردود 0
                19 مشاهدات
                0 معجبون
                آخر مشاركة HaMooooDi
                بواسطة HaMooooDi
                 
                أنشئ بواسطة HaMooooDi, 03-10-2024, 12:41 AM
                استجابة 1
                17 مشاهدات
                0 معجبون
                آخر مشاركة HaMooooDi
                بواسطة HaMooooDi
                 
                أنشئ بواسطة HaMooooDi, 03-10-2024, 12:25 AM
                ردود 0
                3 مشاهدات
                0 معجبون
                آخر مشاركة HaMooooDi
                بواسطة HaMooooDi
                 
                أنشئ بواسطة HaMooooDi, 03-09-2024, 11:38 PM
                استجابة 1
                3 مشاهدات
                0 معجبون
                آخر مشاركة HaMooooDi
                بواسطة HaMooooDi
                 
                أنشئ بواسطة HaMooooDi, 02-26-2024, 11:37 PM
                ردود 0
                8 مشاهدات
                0 معجبون
                آخر مشاركة HaMooooDi
                بواسطة HaMooooDi
                 
                يعمل...
                X